الرياضيات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

إقليدس الرياضياتي اليوناني في القرن الثالث قبل الميلاد، كما تخيلة رفائيل في لوحته المعروفة بمدرسة أثينا

الرياضيات^[1] علم مواضيعه مفاهيم مجردة والاصطلاحات الرياضية تدل على الكم، والعدد يدلّ على كمية المعدود والمقدار قابل للزيادة أو النقصان وعندما نستطيع قياس المقدار نطلق عليه اسم الكم. لذلك عرف بعض العلماء الرياضيات بأنه علم القياس. تعتبر الرياضيات لغة العلوم إذ أن هذه العلوم لا تكتمل إلا عندما نحول نتائجها إلى معادلات ونحول ثوابتها إلى خطوط بيانية.
تعرف الرياضيات بأنها دراسة القياس والحساب والهندسة. هذا بالإضافة إلى المفاهيم الحديثة نسبيا ومنها البنية، الفضاء أو الفراغ، والتغير والأبعاد. وبشكل عام قد يعرفها البعض على أنها دراسة البنى المجردة باستخدام المنطق والبراهين الرياضية والتدوين الرياضي. وبشكل أكثر عمومية، قد تعرف الرياضيات أيضا على أنها دراسة الأعداد وأنماطها.
و لقد نشأت الرياضيات بقيام الإنسان بقياس ما يشاهده من ظواهر الطبيعة بناء على فطرة وخاصية في الإنسان ألا وهي اهتمامه بقياس كل ما حوله إلى جانب احتياجاته العملية فهكذا كان هناك ضرورة لقياس قسمة المقوتة (الطعام) بين أفراد العائلة وقياس الوقت والفصول والمحاصيل الزراعية تقسيم الأراضي وغنائم الحملات الحربية والمحاسبة للتمكن من الإتجار إلى جانب علم الملاحة بالنجوم في السفر والترحال للتجارة والاستكشاف والقياسات اللازمة لتشييد الأبنية والمدن.
و هكذا فإن البنى الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود أصلها إلى العلوم الطبيعية، وخاصة علم الطبيعة، ولكن الرياضيين يقومون بتعريف ودراسة بنى أخرى لأغراض رياضية بحتة، لأن هذه البنى قد توفر تعميما لحقول أخرى من الرياضيات مثلا، أو أن تكون عاملا مساعدا في حسابات معينة، وأخيرا فإن الرياضيين قد يدرسون حقولا معينة من الرياضيات لتحمسهم لها، معتبرين أن الرياضيات هي فن وليس علما تطبيقيا.
فللرياضيات دور بارز في علوم المادّة (أي الفيزياء والكيمياء) وعلم الأحياء (البيولوجيا)، فضلاً عن دوره المتميز في العلوم الإنسانية.

تاريخ الرياضيات

مخطوطة مصرية قديمة لأحمس

كان الكتبة البابليون منذ أكثر من 3000 عاما يمارسون كتابة الأعداد وحساب الفوائد ولاسيما في الأعمال التجارية ببابل. وكانت الأعداد والعمليات الحسابية تدون فوق ألواح الصلصال بقلم من البوص المدبب. ثم توضع في الفرن لتجف. وكانوا يعرفون الجمع والضرب والطرح والقسمة. ولم يكونوا يستخدمون فيها النظام العشري المتبع حاليا مما زادها صعوبة حيث كانوا يتبعون النظام الستيني الذي يتكون من 60 رمزا للدلالة علي الأعداد من 1-60. وطور قدماء المصريين هذا النظام في مسح الأراضي بعد كل فيضان لتقدير الضرائب. كما كانوا يتبعون النظام العشري وهو العد بالآحاد والعشرات والمئات. لكنهم لم يعرفوا الصفر. لهذا كانوا يكتبون 600 بوضع 6 رموز يعبر كل رمز على 100.

الرياضيات في علوم المادة

يبقى علم الفيزياء علما استقرائياً يعتمد في الأساس على مراقبة الظواهر الطبيعية واختبارها، ويستطيع في أقصى حده التعبير عن القوانين بلغة رياضية، فتكون الرياضيات في مجال علوم المادة لغة تعبير أكثر منها منهج اكتشاف، وهناك حالات عديدة كانت الرياضيات فيها أسلوب اكتشاف وبرهنة. فقد اكتشف الفلكي الفرنسي أوربان لوفيريي بالحسابات الرياضية مكان كوكب نبتون وبعده وكتلته قبل التحقق من وجوده الفعلي بالرصد وكان الفكر الرياضي عند "نيوتن" و"أينشتاين" سابقا إلى حد كبير على الاختبار، لكن يبقى الاختبار الضامن الأخير لصحة الاكتشافات في علوم المادة. أما فرضية تحويل الكون برمته إلى معادلة رياضية كبرى فيبقى حلماَ راود أذهان الفلاسفة والعلماء أمثال "ديكارت"، ولكن هذا الهدف الكبير يبقى مجرّد فرضيّة دونها صعوبات وتجاذبات علمية وفلسفية. فالعالم لا يستطيع استعمال المنهج الرياضي الاستنباطي في سائر العلوم إلا إذا سلب الواقع كثيرا من مضمونه.
فاللغة الرياضية توفر للقوانين العلمية مزيدا من الدقة، ومن أبرز الأمثلة على دور الرياضيات في علوم المادة: قياس سرعة الرياح، وقياس قوة الزلازل، وقياس الضعط الجوي.

الرياضيات في علوم الأحياء

إن نجاح المنهج الاختباري في علوم الأحياء هيأها لاستعمال اللغة الرياضية الرائجة جدا في مجال العلوم الفيزيوكيميائية. ولقد عارض بعض العلماء هذا داعيين إلى الحذر وعدم إقحام الرياضيات في علوم الأحياء قبل أن تمر هذه الأخيرة بشكل واف على مشرحة التحليل. فالعلم الذي يبلغ مبلغا كافيا من التطور هو الذي يمكن أن يطمح إلى هذه الدرجة العلمية الرياضية.
و كان علم الوراثة الأول من علوم الأحياء الذي اتبع علوم المادة في مسارها الرياضي، وقد طبقت قوانين "مندل" في المجال الحيواني بقصد تأصيل بعض الحيوانات وعزل خصائص معينة كاللون والشكل والقد. وركز العالم "مورغان" اختياراته على ذبابة الدروزوفيل فتوصل إلى تحديد الجينات الوراثية في كروموزومات نواة الخلية.
إن علماء البيولوجيا يعتبرون الإحصاءات الرياضية بمثابة استقصاء وشرح متميز للمعطيات الطبية. فإن قياس الثوابت البيلوجية والتسجيلات البيانية تشكل لغة شائعة جدا في علوم الأحياء. فتخطيط الدماغ، وتخطيط القلب، وقياس نسبة الزلال، وقياس ثابة السكر في الدم، وإحصاء عدد كريات الدم الحمراء والبيضاء، وقياس النمو والوزن كلها دلائل على دخول الرياضيات في علوم الأحياء.

الرياضيات في العلوم الإنسانية

تضم العلوم الإنسانية علم الاقتصاد والاجتماع والتاريخ والنفس والأخلاق وما سواها. فالمجتمعات الصناعية تعتمد على اللغة الرياضية من أجل تطوير الواقع الذي تعيش فيه، فالاقتصاد يقوم على التخطيط الذي يعد أسلوبا للسيطرة على اقتصاد البلد ومحوره الأساسي الرياضيات. كذلك علم الاجتماع الذي يرتكز على الاستبيان والجداول الإحصائية والخطوط البيانية أثناء دراسة لحالة فقر أو نسبة الهجرة السكانية إلى الخارج أو نسبة البطالة. أما بالنسبة للتاريخ، فالرياضيات تجعل عملية التأريخ أكثر موضوعية ودقة من خلال تحديد الفترة الزمنية لحادثة ما وتدوين نتائجها على مختلف الصعد. وتستخدم اللغة الرقمية في العديد من الدراسات لعلم النفس خاصة عندى قياس الفروقات الفردية ونسبة الذكاء. غير أن الرياضيات لا تستطيع الدخول على علم الأخلاق بسبب الموضوعات التي يحويها كالإرادة والضمير والحرية والمسؤولية والحق والواجب، فهي بالأمور المعنوية التي لا يصح معها استعمال القياس أو الكم.

بعض فروع قسم الرياضيات

أدى الانتشار الواسع للمعرفة في العصر العلمي إلى التخصص حيث يوجد حاليا ما لا يقل عن المئات من التخصصات في الرياضيات، إذ يحتل تصنيف مواضيع الرياضيات ستا وأربعين صفحة.

تقسيم أولى لفروع الرياضيات

العالم المسلم الخوارزمي مؤسس علم الجبر

من الرياضيات البحتة

من فروع المنطق :
المنطق المجرد.
الجبر المنطقي أو الجبر البولياني وينبع منه
منطق القضايا.
منطق الرتبة الأولى يحتوى هذا الفرع على القواعد والأصول اللازمة لصياغة نظريات الذكاء الاصطناعي وهو يعتمد بدوره على مبادئ المنطق البولياني ومنطق القضايا.
المنطق الوقتي.
المنطق الضبابي.
نظرية الاعتقاد.
المنطق القافي.

من فروع الرياضيات المتقطعة:
اللغات الشكلية ونظرية الآليات
نظرية المخططات وهي دراسة نظم ذات بنية شبكية وتتضمن على دراسة الشبكات وعبور المخططات والشجر وأطياف المخططات وغير ذلك.
نظرية المجموعات المبسطة.
نظرية الأعداد.

من فروع الجبر:
جبر الأعداد الحقيقية (الجبر والمقابلة للخوارزمي).
الجبر المجرد (يشتمل على القواعد المنطقية لحساب مختلف مجموعات الأعداد مثل حساب الأعداد الحقيقية والمركبة إلخ)
نظرية الزمر.
حساب المجموعات (الفئات).
حساب المتتاليات.
حساب المتجهات.
الجبر الخطي.
حساب المصفوفات.
جبر بول
ما وراء الرياضيات : ويشتمل ذلك على سبيل المثال على نظرية جودل وبحوث هيلبرت وبرتراند راسل حول تعريف وتبويب بنية الرياضات بأجمعها.

من فروع التحليل:
الحساب المتناهي (حساب التفاضل والتكامل).
المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية.
تحليل الأعداد الحقيقية.
التحليل العددي.
التحليل التوافقي.
التحليل الدالي.
نظرية الدالات أو تحليل الدالات المركبة.
التحليل اللا-قياسي.
نظرية القياس.

من الرياضيات التطبيقية

نظرية الألعاب ولها تطبيقات في الاقتصاد وعلوم الإدارة والتخطيط.
علم الاحتمالات والإحصائيات.
علم النظم
نظرية الشواش والنظم اللا- خطية.
نظرية التحكم الآلي.
علوم الحاسبات الآلية:
- نظرية الحوسبة.
- تحليل الخوارزميات.
- الذكاء الاصطناعي.
  - التعلم الآلى ويشتمل على
    - نظريات التعلم التواصلى والشبكات العصبية أو العصبونية.
    - نظريات التعلم التطورى: البرمجة والخوارزميات الوراثية والتطورية.
  - الإثبات الآلى للنظريات.
  - البحث المتوالى والمتوازي وفوز المباريات.
- تصميم الدارات المنطقية.
- علم المعلومات أو العلوم المعلوماتية.
- علم إدارة نظم المعلومات.
- علوم البرمجيات.
الاستمثال استمثال تعرف فروع هذا القسم بالبرمجة للإشارة إلى أن المراد هي إيجاد أدنى حلول للمعادلات تحت التحليل مثلا تحليل سيمبلكس.
- البرمجة الخطية.
- البرمجة الكاملة.
- البرمجة المتحركة.
بحوث العمليات.
علوم الطبيعة الرياضياتية : وتشمل على فروع العلوم والنظريات الطبيعية التي تعتمد بالأساس في صياغتها على التحليل والبرهنة الرياضية أكثر من قياس التجارب والظواهر الطبيعية ومنها
- نظرية الكم أو النظرية الكمومية أو علم الحركيات الكمية.
- الميكانيكا أو الحركيات الإحصائية.
- ومنها أيضا دراسة حلول الدالات المجهولة في التصميم الهندسي والصناعي والتي تعتمد على حساب المعادلات التفاضلية التي تصف النظم تحت التصميم.
- ميكانيكا هاملتون.
- التحليل العددي.
علم الشفرات.

تقسيم فروع الرياضيات حول موضوع الدراسة الأساسي

الكمية

$1, 2, \ldots$	$0, 1, -1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots$
أعداد طبيعية	أعداد صحيحة	أعداد كسرية
$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$
أعداد حقيقية	أعداد مركبة أو عقدية

عدد – عدد طبيعي – عدد صحيح – عدد كسري – عدد حقيقي – عدد عقدي – عدد فوق عقدي – كواتيرنيون – اوكتونيون – سيدينيون – عدد فوق حقيقي – عدد حقيقي فائق – عدد ترتيبي – عدد كمي – عدد بي – متوالية صحيحة – ثابت رياضي – أسماء الأعداد – اللانهاية – الأساس (رياضيات)

التغير

$36 \div 9 = 4$
حساب	تكامل

تكامل شعاعي
$\int 1_S\,d\mu=\mu(S)$	$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
تحليل رياضي	معادلات تفاضلية

جمل متحركة (ديناميكية)	نظرية الشواش